2012高考数学备考冲刺之易错点点睛系列专题《选考系列》学生版

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选考系列一、高考预测几何证明选讲是高考的选考内容，主要考查相似三角形的判定与性质，射影定理，平行线分线段成比例定理；圆的切线定理，切割线定理，相交弦定理，圆周角定理以及圆内接四边形的判定与性质等．题目难度不大，以容易题为主．对本部分的考查主要是一道选考解答题，预测2012年仍会如此，难度不会太大．矩阵与变换主要考查二阶矩阵的基本运算，主要是以解答题的形式出现．预测在2012年高考主要考查(1)矩阵的逆矩阵；(2)利用系数矩阵的逆矩阵求点的坐标或曲线方程．坐标系与参数方程重点考查直线与圆的极坐标方程，极坐标与直角坐标的互化；直线，圆与椭圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，题目不难，考查“转化”为目的．预测2012高考中，极坐标、参数方程与直角坐标系间的互化仍是考查的热点，题目容易．不等式选讲是高考的选考内容之一，主要考查绝对值的几何意义，绝对值不等式的解法以及不等式证明的基本方法(比较法、分析法、综合法)．关于含有绝对值的不等式的问题．预测2012年高考在本部分可能会考查不等式的证明或求最值问题．1．极点的极径为0，极角为任意角，即极点的坐标不是惟一的．极径ρ的值也允许取负值，极角θ允许取任意角，当ρ<0时，点M(ρ，θ)位于极角θ的终边的反向延长线上，且OM＝|ρ|，在这样的规定下，平面上的点的坐标不是惟一的，即给定极坐标后，可以确定平面上惟一的点，但给出平面上的点，其极坐标却不是惟一的．这有两种情况：①如果所给的点是极点，其极径确定，但极角可以是任意角；②如果所给点M的一个极坐标为(ρ，θ)(ρ≠0)，则(ρ，2kπ＋θ)，(－ρ，(2k＋1)π＋θ)(k∈Z)也都是点M的极坐标．这两种情况都使点的极坐标不惟一，因此在解题的过程中要引起注意．2．在进行极坐标与直角坐标的转化时，要求极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同，在这个前提下才能用转化公式．同时，在曲线的极坐标方程和直角坐标方程互化时，如遇约分，两边平方，两边同乘以ρ，去分母等变形，应特别注意变形的等价性．3．对于极坐标方程，需要明确：①曲线上点的极坐标不一定满足方程．如点P(1,1)在方程ρ＝θ表示的曲线上，但点P的其他形式的坐标都不满足方程；②曲线的极坐标方程不惟一，如ρ＝1和ρ＝－1都表示以极点为圆心，半径为1的圆．4．同一个参数方程，以不同量作为参数，一般表示不同的曲线．5．任何一个参数方程化为普通方程，从理论上分析都存在扩大取值范围的可能性．从曲线和方程的概念出发，应通过限制普通方程中变量的取值范围，使化简前后的方程表示的是同一条曲线，原则上要利用x＝f(t)，y＝g(t)，借助函数中求值域的方法，以t为自变量，求出x和y的值域，作为普通方程中x和y的取值范围．7．注意柯西不等式等号成立的条件⇔a1b2－a2b1＝0，这时我们称(a1，a2)，(b1，b2)成比例，如果b1≠0，b2≠0，那么a1b2－a2b1＝0⇔＝.若b1·b2＝0，我们分情况说明：①b1＝b2＝0，则原不等式两边都是0，自然成立；②b1＝0，b2≠0，原不等式化为(a＋a)b≥ab，是自然成立的；③b1≠0，b2＝0，原不等式和②的道理一样，自然成立．正是因为b1·b2＝0时，不等式恒成立，因此我们研究柯西不等式时，总是假定b1·b2≠0，等号成立的条件可写成＝.三、易错点点睛几何证明选讲几何证明选讲是考查同学们推理能力、逻辑思维能力的好资料，题目以证明题为主，特别是一些定理的证明和用多个定理证明一个问题的题目，我们更应注意．重点把握以下内容：1．射影定理的内容及其证明；2．圆周角与弦切角定理的内容及证明；3．圆幂定理的内容及其证明；4．圆内接四边形的性质与判定；5．平行投影的性质与圆锥曲线的统一定义．如图，A，B，C，D四点在同一圆上,AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.(1)证明：CD∥AB；(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．证明　(1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA.故∠ECD＝∠EBA.所以CD∥AB.(2)由(1)知，AE＝BE.因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，从而∠FED＝∠GEC.连结AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE.又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA.所以∠AFG＋∠GBA＝180°.故A，B，G，F四点共圆．易错提醒　(1)对四点共圆的性质定理和判定定理理解不透．(2)不能正确作出辅助线，构造四边形．(3)角的关系转化不当．矩阵与变换矩阵与变换易错易漏(1)因矩阵乘法不满足交换律，多次变换对应矩阵的乘法顺序易错．(2)图形变换后，所求图形方程易代错．已知矩阵M＝\\o(\\s\\up12(1b，N＝\\o(\\s\\up12(c0，且MN＝\\o(\\s\\up12(2－2.(1)求实数a，b，c，d的值；(2)求直线y＝3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的象的方程．解　方法一　(1)由题设得解得易错提醒　(1)忽视将C1的参数方程和C2的极坐标方程化为直角坐标系下的普通方程，即转化目标不明确．(2)转化或计算错误．不等式选讲设a、b是非负实数，求证：a3＋b3≥(a2＋b2)．证明　由a，b是非负实数，作差得a3＋b3－(a2＋b2)＝a2(－)＋b2(－)＝(－)[()5－()5]．当a≥b时，≥，从而()5≥()5，得(－)[()5－()5]≥0；当a0.所以a3＋b3≥(a2＋b2)．易错提醒(1)用作差法证明不等式入口较易，关键是分解因式，多数考生对分组分解因式不熟练．(2)分解因式后，与零比较时，易忽略分类讨论．设fxaxbx()2，且112214ff()()，，求f()2的取值范围。四、典型习题导练1、自圆O外一点P引圆的一条切线PA，切点为A，M为PA的中点，过点M引圆O的割线交该圆于,BC两点，且100BMP，40BPC.⑴求证：MBP与MPC相似；⑵求MPB的大小.2、如图，圆O的直径dAB，P是AB延长线上一点，aBP,割线PCD交圆O于点C、D，过点P作AP的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F.(Ⅰ)求证：PDFPEC;（Ⅱ）求PFPE的值.4、如图所示，已知PA与O相切，A为切点，PBC为割线，弦,CDAPADBC∥、相交于E点，F为CE上一点，且2DEEFEC.⑴求证：PEDF；⑵求证：CEEBEFEP.5、如图ABC内接于圆O，ABAC，直线MN切圆C于点C，BD∥,MNACBD与相交于点E．(1)求证：ADAE;(2)若6,4,ABBCAE求．6、如图，直线AB经过圆上O的点C，并且OA=OB，CA=CB，圆O交于直线OB于E，D，连接EC，CD，若tan∠CED=12，圆O的半径为3，求OA的长．EFOCDAPABCDEMN第22题图9、在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为tytx225223)(为参数t．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为sin52.（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；Ⅱ）设圆C与直线l交于点BA、，若点P的坐标为)5,3(，求||||PBPA.10、在平面直角坐标系xOy中，判断曲线C：(为参数）与直线l：(t为参数)是否有公共点，并证明你的结论．13、已知函数()|1||22|.fxxx⑴解不等式()5fx；⑵若关于x的方程1()4afx的解集为空集，求实数a的取值范围.14、已知函数Raaxxxf,3)((Ⅰ)当0a时，解关于x的不等式4)(xf；（Ⅱ）若,Rx使得不等式43axx成立，求实数a的取值范围.15、设函数axxxf|2||1|)(.（Ⅰ）当5a时，求函数)(xf的定义域；（Ⅱ）若函数)(xf的定义域为R，试求a的取值范围．16、设,,abc均为正数，证明：222abcabcbca≥.17、已知函数2()log(1+2).fxxxm（1）当5m时，求函数()fx的定义域；（2）若关于x的不等式()1fx的解集是R,求m的取值范围.22、已知二阶矩阵M有特征值＝３及对应的一个特征向量111e，并且M对应的变换将点（－１，２）变换成（９，１５），　求矩阵M．